Seminários de probabilidade – 2017

Coordenação: Professora Maria Eulalia Vares

As palestras ocorrerem na sala C-119 nas segundas-feiras as 15h30, a menos de algumas exceções devidamente indicadas.

Lista completa

Nesta palestra falarei sobre o processo de exclusão com taxa lenta na fronteira, que são partículas que movem-se em {1,…,n-1} como passeios aleatórios independentes exceto pela regra de exclusão que proíbe duas ou mais partículas de ocuparem o mesmo sítio ao mesmo tempo. Além disso, nos sítios 1 e n-1 pode ser adicionada ou retirada uma partícula (sempre respeitando a regra de exclusão) com taxa proporcional a n^{-a}, onde a é uma constante não-negativa.

Este modelo e outros semelhantes a ele vêm sendo muito estudados, pois despertam interesse pela sua aplicabilidade e pela sua parte teórica.
O interesse na aplicabilidade é devido ao fato de que ele modela a transferência de massa entre reservatórios com diferentes densidades. E, uma das suas não trivialidades teóricas, por exemplo, é fato da medida invariante ser dada através de matrizes de Ansatz. Outro aspecto teórico interessante, é que o limite hidrodinâmico é dado pela equação do calor com condições de fronteira que dependem de quão lenta é o nascimento e morte de partículas na fronteira. Essas condições de fronteira sofrem uma transição de fase: se a em [0,1), temos Dirichlet; para a>1, temos Neumann e para o caso crítico a=1, temos Robin. Nesta palestra, além do limite hidrodinâmico, serão apresentados outros resultados obtidos para este modelo, tais como flutuações e grandes desvios.

 

Neste seminário vamos começar definindo o operador diferencial generalizado que estamos interessados, definir brevemente os espaços de W-Sobolev, e apresentar alguns resultados. Em seguida, vamos discutir a obtenção de aproximações deste operador por operadores definidos em discretizações do domínio. Finalmente mostraremos como definir sistemas de partículas induzidos por estes operadores e mostrar que esses sistemas satisfazem limites hidrodinâmicos e flutuações no equilíbrio. (Trabalho em conjunto com Fábio J. Valentim)


A ser definido

We consider an urn model with graph based interactions and ask the question: when can two competing growths (in different colors) co-exist? We discuss this problem in finite graphs and infinite lattices. We also discuss an application to co-existence of competing bootstrap type growth models Based on joint work with Daniel Ahlberg, Svante Janson and Robert Morris.

Nessa apresentação, exporemos uma técnica para estimar a entropia relativa entre a lei de um sistema de partículas e uma lei produto. Nos dois modelos que estudamos (passeio aleatório sobre um processo de exclusão e modelo de reação-difusão) as cotas obtidas são melhores do que as exigidas pelo método de Yau para a prova de limites hidrodinâmicos. Acreditamos que a técnica pode ser adaptada para outros modelos e que essas estimativas de entropia podem ajudar no estudo das flutuações ao redor do limite hidrodinâmico de sistemas fora do equilíbrio.
Este é um trabalho em colaboração com Milton Jara.

The reproduction speed of a continuous-time branching random walk is proportional to a positive parameter $lambda$. There is a threshold for $lambda$, which is called $lambda_w$, that separates almost sure global extinction from global survival. Only for some classes of branching random walks it is known that the global critical parameter $lambda_w$ is the inverse of a certain function of the reproduction rates, which we denote by $K_w$. We provide here new sufficient conditions which guarantee that the global critical parameter of tree-like branching random walks equals $1/K_w$.

This result is part of a joint work with Bertacchi, D. and Zucca, F. (ALEA, v. 14, p. 381-402, 2017).

In spite of its simplicity, asymptotic behaviours of RWRE are not well-understood, especially when the underlying dimension of the walk is bigger than 1. Significant progress has been done in the higher dimensional case and when the environment is i.i.d. by Alain-Sol Sznitman through a sequel of articles (c.f. [Sz01]- [Sz02]- [Sz03]). In a posterior work [BDR14] the authors were able to improve the aforementioned results by means of improving in turn the renormalization methods introduced by Sznitman. It is our purpose to extend the methods developed in these articles for environments which are non i.i.d. It is important to point out that non-i.i.d. random environments have been studied in [RA03] and [CZ01] among others, however by different reasons they do not make use of renormalization. As a very preliminary step, we would like to extend the ideas introduced in [Sz01]. Thus in this talk, we will see first an introduction of the model and introduce Kalikow’s condition. Then we will explain the renewal structure in both: i.i.d. random environment and mixing environment. Finally we would like to contrast statements of some results for the two frameworks. This is work in progress.

References:[BDR14] N. Berger, A. Drewitz and A.F Ramírez. Effective Polynomial Ballisticity Conditions for Random Walk in Random Environment. Comm. Pure. Appl. Math. (2014).[CZ01] F. Comets and O. Zeitouni. A law of large numbers for random walks in random mixing environments. Ann. Probab. 32 , no. 1B, 88017914, (2004).[RA03] F. Rassoul-Agha. The point of view of the particle on the law of large numbers for random walks in a mixing random environment. Ann. Probab. 31 , no.
3, 1441171463, (2003).[Sz01] A.S. Sznitman. Slowdown estimates and central limit theorem for random walks in random environment.J. Eur. Math. Soc. 2, no. 2, 9317143 (2000).[Sz02] A.S. Sznitman. On a class of transient random walks in random environment. Ann. Probab. 29 (2), 724-765 (2001).[Sz03] A.S. Sznitman. An effective criterion for ballistic behavior of random walks in random environment. Probab. Theory Related Fields 122, no. 4, 509-544
(2002).

Nesse seminário, falaremos sobre um tipo de percolação dependente chamada: percolação booleana. Começamos com um processo de pontos de Poisson em R^2 com densidade u e colocamos bolas de raios aleatórios centradas em cada um desses pontos. Nesse modelo, sob condições bastante gerais sobre as caudas dos raios, sabemos que existe um u_c > 0 tal que: – se u < u_c, temos que o conjunto vacante (não tocado pelas bolas) possui uma única componente conexa ilimitada enquanto o conjunto ocupado (composto pela união das bolas) possui somente componentes limitadas. – se u = u_c, nem o conjunto vacante nem o conjunto ocupado possuem componentes ilimitadas. – se u > u_c, temos uma única componente ilimitada no conjunto ocupado e o tamanho de uma componente vacante típica possui caudas exponenciais. As técnicas das quais falaremos nesse seminário se aplicam a outros modelos de percolação tais como Voronoi e confetti. Esse seminário é fruto de uma colaboração com Daniel Ahlberg e Vincent Tassion.

Several authors have studied convergence in distribution to the Brownian web under diffusive scaling of Markovian random walks. In a paper by R. Roy, K. Saha and A. Sarkar, convergence to the Brownian web is proved for a system of coalescing random paths – the Random Directed Forest- which are not Markovian. Paths in the Random Directed Forest do not cross each other before coalescence. Here we study a generalization of the non-Markovian Random Directed Forest where paths can cross each other and prove convergence to the Brownian web. This provides an example of how the techniques to prove convergence to the Brownian web for systems allowing crossings can be applied to non-Markovian systems.

We consider different problems within the general theme of long-range percolation on oriented graphs. Our aim is to settle the so-called truncation question, described as follows. We are given probabilities that certain long-range oriented bonds are open; assuming that the sum of these probabilities is infinite, we ask if the probability of percolation is positive when we truncate the graph, disallowing bonds of range above a possibly large but finite threshold. We give some conditions in which the answer is affirmative. We also translate some of our results on oriented percolation to the context of a long-range contact process. Joint work with Aernout van Enter and Daniel Valesin.

Network growth and evolution is a fundamental theme that has puzzled scientists for the past decades. A number of models have been proposed to capture important properties of real networks, the most famous being the model of Barabási-Albert (BA) which embodies the principle of preferential attachment. A recognized drawback of most proposed network growth models is the assumption of global information about the network. For example, the BA model requires the knowledge of the degree of every node in the network to randomly choose where a new node will be connected.
In this work we propose and study a network growth model that is purely local. The model is based on a continuously moving random walk that after s steps connects a new node to its current location. Through extensive simulations and theoretical arguments, we analyze the behavior of the model finding a fundamental dependency on the parity of s, where networks with either exponential or heavy-tailed degree distribution can emerge. As s increases, parity dependency diminishes and the model recovers the degree distribution of BA preferential attachment model. The proposed purely local model indicates that networks can grow to exhibit interesting properties even in the absence of any global information.

Joint work with Bernardo Amorim, Daniel Figueiredo, and Giovanni Neglia.

Consideramos uma versão discreta do chamado “Atlas model”, que corresponde a uma sequência de processos de alcance zero (zero-range) numa linha semi-infinita, com uma fonte na origem e uma densidade de partículas divergente. Mostramos que as flutuações no equilíbrio do modelo são regidas por uma equação do calor estocástica com condições de contorno de Neumann. Como consequência, mostramos que a corrente de partículas na origem converge para um movimento Browniano fracionário com exponente de Hurst $H = frac{1}{4}$.

We propose a metric space of coalescing pairs of paths on which we are able to prove (more or less) directly convergence of objects such as the persistence probability in the (one dimensional, nearest neighbor, symmetric) voter model or the diffusively rescaled weight distribution in a silo model (as well as the related output distribution in a river basin model), interpreted in terms of (dual) diffusively rescaled coalescing random walks, to corresponding objects defined in terms of the Brownian web.